复杂度分析（上）

复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。

时间复杂度

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。

大 O 复杂度表示法

其中，T(n)表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

当 n 很大时，公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。

几种常见时间复杂度实例分析

图中的复杂度量级，可以分为多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。而几种常见的多项式时间复杂度如下：

1. O(1)

   O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。

   1 int i = 8;
   2 int j = 6;
   3 int sum = i + j;

   一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

1. O(logn)、O(nlogn)

   对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。

   1 i=1;
   2 while (i <= n)  {
   3   i = i * 2;
   4 }

   从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。如果把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

   

   所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

   在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

2. O(m+n)、O(m*n)

   int cal(int m, int n) {
     int sum_1 = 0;
     int i = 1;
     for (; i < m; ++i) {
       sum_1 = sum_1 + i;
     }
   
     int sum_2 = 0;
     int j = 1;
     for (; j < n; ++j) {
       sum_2 = sum_2 + j;
     }
   
     return sum_1 + sum_2;
   }

   从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

空间复杂度

空间复杂度全称就是渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

1 void print(int n) {
2  int i = 0;
3  int[] a = new int[n];
4  for (i; i <n; ++i) {
5    a[i] = i * i;
6  }

7  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
8    print out a[i]
9  }
10}

可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

小结

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。

常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。对于绝大多数数据结构和算法来说，其复杂度无外乎这几个。